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神瑛侍者的博客

 
 
 

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【转载】弧长法(Riks Method)的基本原理  

2014-10-13 15:36:04|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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       关于弧长法的程序编制 http://blog.163.com/zpfzcjndx@126/blog/static/6354568120134228927334/

       弧长法(Riks method)是目前结构非线性分析中数值计算最稳定、计算效率最高且最可靠的迭代控制方法之一,它有效地分析结构非线性前后屈曲及屈曲路径跟踪使其享誉"结构界"。大多数商业有限元软件(如ABAQUS、ANSYS等)也都将其纳入计算模块,作为一名工科生,机械式地"Step by Step"点击这些商业软件对话框的时候需"知其然,知其所以然",否则必将"Rubbish in,Rubbish out"。

图1 弧长法迭代求解过程

         图1 所示为弧长法的迭代求解过程,下标表示第个荷载步,上标表示第个荷载步下的第次迭代,显然,若荷载增量,则迭代路径为一条平行于轴的直线,即为著名的牛顿—拉夫逊法。

        设第个荷载步收敛于,那么对于第个荷载步来说,需要进行次迭代才能达到新的收敛点。外部参照力,在ABAQUS需要用户以外荷载的形式输入,因此,作用在结构上的真实力大小为。由于牛顿—拉夫逊法在迭代过程中,以荷载控制(或位移控制)时,荷载增量步(或位移增量步)为常数,它无法越过极值点得到完整的荷载—位移曲线,事实上,也只有变化的荷载增量步才能使求解过程越过极值点。从图1中可以看出,弧长法的荷载增量步是变化的,可以自动控制荷载,但这又使原方程组增加了一个多余的未知量,因此需要额外补充一个控制方程,即:

(1)

        该控制方程说明,其迭代路径是以上一个荷载步收敛点为圆心半径为的圆弧,所以称为弧长法。通常用户需指定初始弧长半径或固定的弧长半径,当设定了初始弧长半径时,根据收敛速率,一般按式(2)计算,其中为荷载步期望收敛迭代次数,一般取6, 为上一荷载步的迭代次数,大于10时取10。

(2)

           1. 当时,根据上一个荷载步收敛结束时的构形,得到用于第个荷载步收敛计算的切线刚度矩阵,即图1中的蓝色平行线的斜率。通过式(2)可得相应的切线位移。

(3)

(4)

(5)

        很容易由式(5)求得,但不能确定其符号,而的符号决定了跟踪分析是向前还是返回,因此非常重要。很多学者提出了不同的确定方法,Murray j.Clarke(1993),A Study of Incremental-iterative Strategies for Non-linear Analysis这篇文章详细地介绍了这些方法。 在ABAQUS中,符号按下式(6)确定:

(6)

       2. 当时,为了简化的求解过程,可以切平面法求解,即用垂直于切线的向量代替圆弧,即:

需要补充的关系式为:

        最后需要说明的是,假若考虑材料塑性行为,则每个迭代步的切线刚度矩阵应以当前迭代步的构形为准,即图1中的蓝色切线不再平行。

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